Today: Tuesday 11 May 2021 , 8:18 am


search


Седлоузловая бифуркация

Последнее обновление 7 День , 13 час 1 Взгляды

In this page talks about ( Седлоузловая бифуркация ) It was sent to us on 03/05/2021 and was presented on 03/05/2021 and the last update on this page on 03/05/2021

Твой комментарий


Введите код
  В теории динамических систем, седлоузловая бифуркация — локальная бифуркация, при которой пара особых точек (устойчивая и неустойчивая) сливаются в полуустойчивую особую точку (седлоузел), затем исчезающую. Единственная бифуркация, которая встречается в типичных однопараметрических семействах векторных полей на прямой неустранимым образом (т.е. является типичной бифуркацией коразмерности 1).

Нормальная форма

{style='float:right; width: 300px; margin-left: 20px; margin-bottom:5px; margin-top: 0px; margin-right: 0px; text-align: left;'
300pxСедлоузловая бифуркация
Рассмотрим векторное поле на прямой, имеющее особую точку. Если особая точка невырождена (производная векторного поля в ней отлична от 0), по теореме о неявной функции, она сохраняется при малых возмущениях, и бифуркации не происходит. Таким образом, простейший случай, интересный с точки зрения теории бифуркаций: первая производная равна нулю. В типичном случае, вторая производная ненулевая. Раскладывая векторное поле в ряд Тейлора и меняя при необходимости систему координат, можно считать, что коэффициент при x^2 равен -1. В этом случае векторное поле имеет вид:
\dot x=-x^2+o(x^2).\quad\quad(1)
Поскольку особая точка вырождена, векторное поле (1) не является структурно устойчивым: сколь угодно малым возмущением можно уничтожить особую точку или «развалить» её на две. Оказывается, любое невырожденное малое возмущение этого векторного поля в окрестности особой точки 0 (топологически) эквивалентно однопараметрическому семейству
\dot x=\varepsilon-x^2\quad\quad(2)
Иными словами, это семейство будет версальной деформацией для уравнения (1). Семейство (2) является нормальной формой седлоузловой бифуркации.

Сценарий бифуркации

Рассмотрим семейство (2). Возможно три случая:
  • При \varepsilon>0 векторное поле имеет две особые точки: x=\pm\sqrt{\varepsilon. Одна из них (x=+\sqrt{\varepsilon) является устойчивой, другая (x=-\sqrt{\varepsilon) — неустойчивой.
  • При \varepsilon=0 векторное поле имеет единственную полуустойчивую негиперболическую особую точку 0.
  • При \varepsilon0, особая точка (\sqrt{\varepsilon,0) будет устойчивым узлом, а особая точка (-\sqrt{\varepsilon,0) — седлом. Сливаясь при \varepsilon=0, они образуют особую точку с одним нулевым и одним ненулевым собственным значением, то есть седлоузел. Это и объясняет название бифуркации.

    Литература

  • Категория:Динамические системы
 
Комментарии

Пока нет комментариев




последний раз видели
большинство посещений