Today: Tuesday 22 June 2021 , 9:14 pm


advertisment
search




Полярная система координат

Последнее обновление 13 День , 8 час 3 Взгляды

Advertisement
In this page talks about ( Полярная система координат ) It was sent to us on 09/06/2021 and was presented on 09/06/2021 and the last update on this page on 09/06/2021

Твой комментарий


Введите код
  thumbright300pxПолярная сетка, на которой отложено несколько углов с пометками в градусах
Полярная система координат — двумерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами — полярным углом и полярным радиусом. Полярная система координат особенно полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов; в более распространённой декартовой, или прямоугольной, системе координат, такие отношения можно установить только путём применения тригонометрических уравнений.
Полярная система координат задаётся лучом, который называют нулевым лучом, или полярной осью.
Точка, из которой выходит этот луч, называется началом координат, или полюсом. Любая точка на плоскости определяется двумя полярными координатами: радиальной и угловой.
Радиальная координата (обычно обозначается r) соответствует расстоянию от точки до начала координат. Угловая координата также называется полярным углом или азимутом и обозначается \varphi, равна углу, на который нужно повернуть против часовой стрелки полярную ось для того, чтобы попасть в эту точку{{книга
год=1997
заглавие=Advanced Mathematics: Precalculus with Discrete Mathematics and Data Analysis
издательство=
место=Evanston, Illinois
isbn=0-395-77114-5
ref=Brown
язык=en
автор=Brown, Richard G.
ответственный=Andrew M. Gleason
.
Определённая таким образом радиальная координата может принимать значения от нуля до бесконечности, а угловая координата изменяется в пределах от 0° до 360°. Однако, для удобства область значений полярной координаты можно расширить за пределы полного угла, а также разрешить ей принимать отрицательные значения, что отвечает повороту полярной оси по часовой стрелке.

История

Понятие угла и радиуса были известны ещё в первом тысячелетии до нашей эры. Греческий астроном Гиппарх (190—120 до н. э.) создал таблицу, в которой для разных углов приводились длины хорд. Существуют свидетельства применения им полярных координат для определения положения небесных тел . Архимед в своём сочинении «Спирали» описывает так называемую спираль Архимеда, функцию, радиус которой зависит от угла. Работы греческих исследователей, однако, не развились в целостное определение системы координат.
В IX веке персидский математик Хаббаш аль-Хасиб (аль-Марвази́) применял методы картографических проекций и сферической тригонометрии для преобразования полярных координат в другую систему координат с центром в некоторой точке на сфере, в этом случае, для определения Киблы — направления на Мекку . Персидский астроном Абу Райхан Бируни (973—1048) выдвинул идеи, которые выглядят как описание полярной системы координат. Он был первым, кто, примерно в 1025 году, описал полярную экви-азимутальную равнопромежуточную проекцию небесной сферыDavid A. King (1996), «Astronomy and Islamic society: Qibla, gnomics and timekeeping», in Roshdi Rashed (ed.), Encyclopedia of the History of Arabic Science, Vol. 1, pp. 128—184 153, Routledge, London and New York.
Существуют разные версии о введении полярных координат в качестве формальной системы координат. Полная история возникновения и исследования описана в работе профессора из Гарварда Джулиан Лоувел Кулидж «Происхождение полярных координат»{{статья
заглавие=The Origin of Polar Coordinates
издание=American Mathematical Monthly
том=59
страницы=78—85
ссылка=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Extras/Coolidge_Polars.html
doi=10.2307/2307104
язык=en
автор=
год=1952
тип=journal
. Грегуар де Сен-Венсан и Бонавентура Кавальери независимо друг от друга пришли к похожей концепции в середине XVII века. Сен-Венсан описал полярную систему в личных заметках в 1625 году, напечатав свои труды в 1647; а Кавальери напечатал свои труды в 1635 году, и исправленную версию в 1653 году. Кавальери применял полярные координаты для вычисления площади, ограниченной спиралью Архимеда. Блез Паскаль впоследствии использовал полярные координаты для вычисления длин параболических дуг.
В книге «Метод флюксий» (англ. Method of Fluxions, написана в 1671 году, напечатана в 1736 году) сэр Исаак Ньютон исследовал преобразование между полярными координатами, которые он обозначал как «Седьмой способ; Для спиралей» (« »), и девятью другими системами координат
. В статье, опубликованной в 1691 году в журнале Acta eruditorum, Якоб Бернулли использовал систему с точкой на прямой, которые он назвал полюсом и полярной осью соответственно. Координаты задавались как расстояние от полюса и угол от полярной оси. Работа Бернулли была посвящена проблеме нахождения радиуса кривизны кривых, определённых в этой системе координат.
Введение термина «полярные координаты» приписывают Грегорио Фонтана. В XVIII веке он входил в лексикон итальянских авторов. В английский язык термин попал через перевод трактата Сильвестра Лакруа «Дифференциальное и интегральное исчисление», выполненного в 1816 году Джорджем Пикоком
Для трёхмерного пространства полярные координаты впервые предложил Алекси Клеро, а Леонард Эйлер был первым, кто разработал соответствующую систему.

Графическое представление

thumb250pxТочка в полярной системе координат
Каждая точка в полярной системе координат может быть определена двумя полярными координатами, что обычно называются r (радиальная координата, встречается вариант обозначения \rho) и \varphi (угловая координата, полярный угол, фазовый угол, азимут, позиционный угол, иногда пишут \theta или t). Координата r соответствует расстоянию от точки до центра, или полюса системы координат, а координата \varphi равна углу, отсчитываемого в направлении против часовой стрелки от луча через 0° (иногда называемому полярной осью системы координат).
Полярный радиус определен для любой точки плоскости и всегда принимает неотрицательные значения r\geqslant 0. Полярный угол \varphi определен для любой точки плоскости, за исключением полюса O, и принимает значения -\pi 0, y \ge 0\\
\operatorname{arctg(\frac{y{x) + 2\pi, & x > 0, y < 0 \\
\operatorname{arctg(\frac{y{x) + \pi, & x < 0\\
\frac{\pi{2, & x = 0, y > 0\\
\frac{3\pi{2, & x = 0, y < 0\\
- & x = 0, y = 0
\end{cases.
Для вычисления \varphi в интервале (-\pi,\;\pi, можно воспользоваться такими уравнениями:
\theta =
\begin{cases
\operatorname{arctg(\frac{y{x), & x > 0\\
\operatorname{arctg(\frac{y{x) + \pi, & x < 0 , y \ge 0\\
\operatorname{arctg(\frac{y{x) - \pi, & x < 0, y < 0\\
\frac{\pi{2, & x = 0, y > 0\\
-\frac{\pi{2, & x = 0, y < 0\\
- & x = 0, y = 0
\end{cases.
Учитывая, что для вычисления полярного угла недостаточно знать отношение y к x, а ещё нужны знаки одного из этих чисел, многие из современных языков программирования имеют среди своих функций помимо функции atan, определяющей арктангенс числа, ещё и дополнительную функцию atan2, которая имеет отдельные аргументы для числителя и знаменателя. В языках программирования, поддерживающих необязательные аргументы (например, в Common Lisp), функция atan может получать значение координаты x.

Уравнение кривых в полярных координатах

Благодаря радиальной природе полярной системы координат, некоторые кривые могут быть достаточно просто описаны полярным уравнением, тогда как уравнение в прямоугольной системе координат было бы намного сложнее. Среди самых известных кривых: полярная роза, архимедова спираль, Лемниската, улитка Паскаля и кардиоида.

Окружность

thumbright180pxОкружность, заданная уравнением \scriptstyle{r(\varphi)=1
Общее уравнение окружности с центром в (r_0,\;\theta) и радиусом a имеет вид:
r^2-2rr_0\cos(\varphi-\theta)+r_0^2=a^2.
Это уравнение может быть упрощено для частных случаев, например
r(\varphi)=a
является уравнением, определяющим окружность с центром в полюсе и радиусом a .

Прямая

Радиальные прямые (те, которые проходят через полюс) определяются уравнением
\varphi=\theta,
где \theta — угол, на который прямая отклоняется от полярной оси, то есть, \theta=\mathrm{arctg\,m, где m — наклон прямой в прямоугольной системе координат. Нерадиальная прямая, перпендикулярно пересекает радиальную прямую \varphi=\theta в точке (r_0,\;\theta) определяется уравнением
r(\varphi)=r_0\sec(\varphi-\theta).

Полярная роза

thumbright180pxПолярная роза задана уравнением \scriptstyle{r(\varphi)=2\sin 4\varphi
Полярная роза — известная математическая кривая, похожая на цветок с лепестками. Она может быть определена простым уравнением в полярных координатах:
r(\varphi)=a\cos(k\varphi+\theta_0)
для произвольной постоянной \theta_0 (включая 0). Если k — целое число, то это уравнение будет определять розу с k лепестками для нечётных k, либо с 2k лепестками для чётных k. Если k — рациональное, но не целое, график, заданный уравнением, образует фигуру, подобную розе, но лепестки будут перекрываться. Если k — иррациональное, то роза состоит из бесконечного множества частично накладывающихся друг на друга лепестков. Розы с 2, 6, 10, 14 и т. д. лепестками этим уравнением определить невозможно. Переменная a определяет длину лепестков.
Если считать, что радиус не может быть отрицательным, то при любом натуральном k мы будем иметь k-лепестковую розу. Таким образом, уравнение r(\varphi)=\cos(2\varphi)
будет определять розу с двумя лепестками. С геометрической точки зрения радиус — это расстояние от полюса до точки и он не может быть отрицательным.

Спираль Архимеда

thumbright180pxОдна из ветвей спирали Архимеда, задаваемая уравнением \scriptstyle{r(\varphi)=\varphi для \scriptstyle{0
 
Комментарии

Пока нет комментариев




последний раз видели
большинство посещений