Today: Tuesday 22 June 2021 , 8:13 pm


advertisment
search




Тест Дики — Фуллера

Последнее обновление 13 День , 4 час 23 Взгляды

Advertisement
In this page talks about ( Тест Дики — Фуллера ) It was sent to us on 09/06/2021 and was presented on 09/06/2021 and the last update on this page on 09/06/2021

Твой комментарий


Введите код
  Тест Дики — Фуллера (DF-тест, Dickey — Fuller test) — это методика, которая используется в прикладной статистике и эконометрике для анализа временных рядов для проверки на стационарность. Является одним из тестов на единичные корни (Unit root test). Был предложен в 1979 году Дэвидом Дики и Уэйном ФуллеромDickey D. A. and Fuller W. A. Distribution of the Estimators for Autoregressive Time Series with a Unit Root // Journal of the American Statistical Association. — 74. — 1979. — p. 427—-431..
За вклад в исследование коинтегрированных процессов с использованием предложенного теста Дики — Фуллера проверки на стационарность, в 2003 году Клайв Грейнджер получил Нобелевскую премию по экономике.2003 Nobel Prize in Economics

Понятие единичного корня


Временной ряд имеет единичный корень, или порядок интеграции один, если его первые разности образуют стационарный ряд. Это условие записывается как
y_t\thicksim I(1) если ряд первых разностей \triangle y_t=y_t-y_{t-1 является стационарным \triangle y_t\thicksim I(0).
При помощи этого теста проверяют значение коэффициента a в авторегрессионном уравнении первого порядка AR(1)
y_t=a\cdot y_{t-1+\varepsilon_t,
где y_t — временной ряд, а \varepsilon — ошибка.
Если a=1, то процесс имеет единичный корень, в этом случае ряд y_t не стационарен, является интегрированным временным рядом первого порядка — I(1). Если a1 не свойственно, так как в этом случае процесс является «взрывным». Возникновение таких процессов маловероятно, так как финансово-экономическая среда достаточно инерционная, что не позволяет принимать бесконечно большие значения за малые промежутки времени.

Сущность DF-теста

Приведенное авторегрессионное уравнение AR(1) можно переписать в виде:Учебные материалы
\triangle y_t=b\cdot y_{t-1+\varepsilon_t,
где b=a-1, а \triangle — оператор разности первого порядка \triangle y_t=y_t-y_{t-1.
Поэтому проверка гипотезы о единичном корне в данном представлении означает проверку нулевой гипотезы о равенстве нулю коэффициента b. Поскольку случай «взрывных» процессов исключается, то тест является односторонним, то есть альтернативной гипотезой является гипотеза о том, что коэффициент b меньше нуля. Статистика теста (DF-статистика) — это обычная t-статистика для проверки значимости коэффициентов линейной регрессии. Однако, распределение данной статистики отличается от классического распределения t-статистики (распределение Стьюдента или асимптотическое нормальное распределение). Распределение DF-статистики выражается через винеровский процесс и называется распределением Дики — Фуллера.
Существует три версии теста (тестовых регрессий):
  • Без константы и тренда
  • \triangle y_t=b\cdot y_{t-1+\varepsilon_t.
  • С константой, но без тренда:
  • \triangle y_t=b_0+b\cdot y_{t-1+\varepsilon_t.
  • С константой и линейным трендом:
  • \triangle y_t=b_0+b_1\cdot t+b\cdot y_{t-1+\varepsilon_t.
    Для каждой из трёх тестовых регрессий существуют свои критические значения DF-статистики, которые берутся из специальной таблицы Дики — Фуллера (МакКиннона). Если значение статистики лежит левее критического значения (критические значения — отрицательные) при данном уровне значимости, то нулевая гипотеза о единичном корне отклоняется и процесс признается стационарным (в смысле данного теста). В противном случае гипотеза не отвергается и процесс может содержать единичные корни, то есть быть нестационарным (интегрированным) временным рядом.

    Критические значения статистики Дики — Фуллера

    Критические значения статистики Дики — Фуллера при 1%-ном уровне значимости
    { border="1"
    !Размер выборки
    !AR-модель
    !AR-модель с константой
    !AR-модель с константой и трендом
    -
    !25
    -2,66
    -3,75
    -4,38
    -
    !50
    -2,62
    -3,58
    -4,15
    -
    !100
    -2,60
    -3,51
    -4,04
    -
    !\infty
    -2,58
    -3,43
    -3,96
    Для сравнения критическое значение распределения Стьюдента для всех моделей на больших объёмах выборки — 2,33, на малых выборках — 2,5. МакКинноном также выведены приблизительные формулы для оценки критических значений.

    Расширенный тест Дики — Фуллера (ADF)

    Если в тестовые регрессии добавить лаги первых разностей временного ряда, то распределение DF-статистики (а значит, критические значения) не изменится. Такой тест называют расширенным тестом Дики — Фуллера (Augmented DF, ADF).
    Необходимость включения лагов первых разностей связана с тем, что процесс может быть авторегрессией не первого, а более высокого порядка. Рассмотрим на примере модели AR(2):
    y_t=a_1y_{t-1+a_2y_{t-2+\varepsilon_t.
    Данную модель можно представить в виде:
    \triangle y_t=(a_1+a_2-1)y_{t-1-a_2\triangle y_{t-1+\varepsilon_t.
    Если временной ряд имеет один единичный корень, то первые разности по определению стационарны. А поскольку y_{t-1 по предположению нестационарен, то если коэффициент при нём не равен нулю, уравнение противоречиво. Таким образом, из предположения об интегрированности первого порядка для такого ряда следует, что a_1+a_2-1=0. Таким образом, для проверки наличия единичных корней в данной модели следует провести стандартный DF-тест для коэффициента при y_{t-1, причем в тестовую регрессию должен быть добавлен лаг первой разности зависимой переменной.
    Кроме указанной причины также существует и другая — ошибки модели могут не быть белым шумом, а быть некоторым стационарным ARMA-процессом, поэтому следует проверить наличие единичного корня для нескольких лагов. Следует, однако учесть, что увеличение числа лагов приводит к снижению мощности теста. Обычно ограничиваются тремя-четырьмя лагами.

    Замечание

    Тест Дики — Фуллера, как и многие другие тесты, проверяют наличие лишь одного единичного корня. Однако, процесс может иметь теоретически несколько единичных корней. В этом случае тест может быть некорректным. Поскольку обычно предполагается, что больше трёх единичных корней вряд ли могут встречаться в реальных экономических временных рядах, то теоретически обоснованным является тестирование в первую очередь вторых разностей ряда. Если гипотеза единичного корня для этого ряда отвергается, то тогда тестируется единичный корень в первых разностях. Если на этом этапе гипотеза не отвергается, то исходный ряд имеет два единичных корня. Если отвергается, то проверяется единичный корень в самом временном ряде, как описано выше. На практике часто все делают в обратной последовательности, что не совсем корректно. Для корректных выводов необходимы результаты тестов для вторых и первых разностей наряду с самим временным рядом.

    См. также

    • Тест Филипса — Перрона
    • Тест Лейбурна

    Примечания


    Литература

  • .
    Категория:Анализ временных рядов
    Категория:Статистические критерии
  •  
    Комментарии

    Пока нет комментариев




    последний раз видели
    большинство посещений