Today: Tuesday 22 June 2021 , 12:17 am


advertisment
search




Решение уравнения

Последнее обновление 28 День , 15 час 12 Взгляды

Advertisement
In this page talks about ( Решение уравнения ) It was sent to us on 24/05/2021 and was presented on 24/05/2021 and the last update on this page on 24/05/2021

Твой комментарий


Введите код
 
В математике, решение уравнения — это задача по нахождению таких значений аргументов (чисел, функций, наборов и т. д.), при которых выполняется равенство (выражения слева и справа от знака равенства становятся эквивалентными). Значения неизвестных переменных, при которых это равенство достигается, называются решениями или корнями данного уравнения. Решить уравнение означает найти множество всех его решений (корней) или доказать, что корней нет вовсе (либо нет тех, что удовлетворяют заданным условиям).
Например, уравнение x + y = 2x - 1 решается для неизвестного x с помощью замены x = y + 1, так как замена переменной x на выражение y + 1 превращает уравнение в тождество: (y + 1) + y = 2 (y + 1) - 1. Кроме того, если положить неизвестной переменную y, тогда уравнение решается с помощью замены y = x - 1. Замена переменной y на выражение x - 1 превращает уравнение в тождество: x + (x - 1) = 2x - 1. Также x и y могут одновременно рассматриваться как неизвестные переменные. Существует много решений уравнения для подобного случая, например, (x, y) = (1, 0) — то есть x = 1 и y = 0, а в общем, (x, y) = (a + 1,\text{ a) для всех возможных значений.
В зависимости от задачи, может требоваться найти одно решение (любое подходящее решение) или все решения уравнения. Все решения уравнения называются множеством решений. Помимо простого нахождения решения, может ставиться задача по нахождению наилучшего решения уравнения по какому-либо параметру. Задачи такого рода называются задачами оптимизации. Решения задач оптимизации, как правило, не называются «решениями уравнения».

Аналитические методы решения уравнения

Под методом решения задачи (в т.ч. уравнения) понимается, прежде всего, пошаговый алгоритм.
Аналитический метод решения (иначе, просто аналитическое решение) — это выражение замкнутой формы, которое может быть вычислено за конечное число операций . Однако, существуют формулы (выражения), содержащие в себе невычислимые (или непредставимые) на данном этапе развития теории и технологий функции. Далее под аналитическим решением мы будем иметь в виду любое решение, записанное в формульном виде, содержащее в себе известные или определённые функции от параметров (в случае числовых уравнений) или переменных (в случае функциональных уравнений). Ниже приведены основные аналитические методы решений различного вида уравнений.

Метод подбора значения

Самый простой нелогичный (т.к. не требует никакого подчинения законам математической логики) метод решения уравнения, заключающийся в угадывании правильного значения корня. С этого метода начинается обучение решению более сложных уравнений, чем линейные (напр., квадратные и кубические), в 5-ых—7-ых классах средней образовательной школы в России.
Пример решения уравнения методом подбора: x^2-2x+1=0
Легко догадаться, что одним из корней уравнения будет 1. Чтобы проверить правильность подобранного значения, необходимо подставить его в исходное уравнение вместо переменной x:\text{ 1^2-2\cdot 1+1=0\Longleftrightarrow 0=0..
Как видно, требуемое тождественное равенство выполняется, а это значит, что найденное нами значение является правильным (то есть входит в множество решений уравнения).
Недостатки метода подбора:
  • Чаще всего, корнями уравнения являются иррациональные (алгебраически иррациональные или даже трансцендентные) числа, угадать которые практически невозможно;
  • Методом подбора нельзя указать на отсутствие решения при каких-либо ограничениях на значение решений;
  • В случае бесконечного множества решений (напр., в уравнениях с двумя и более переменными) данный метод совершенно не подходит, однако, бывает полезен, когда с помощью одного подобранного правильного значения каким-либо другим известным методом можно получить остальные допустимые решения ;
  • Далеко не все уравнения представлены в виде простых функций от переменной, так что решить такие уравнения метод подбора также неспособен;
  • Применимость данного метода ограничивается не только сложностью уравнений, их видом и областью допустимых решений, но также наличием хороших вычислительных способностей, знанием наиболее часто встречающихся значений и их соответствия конкретному виду уравнений .
Преимущества метода подбора:
  • Простота использования (применение метода подбора не требует выполнения практически никаких логических действий, за исключением проверки);
  • Скорость получения решения (обычно, там, где на необходимость применения метода подбора указано в контексте, решения подбираются довольно-таки быстро);
  • Доступность в применении (ведь иногда бывает так, что аналитическое решение какого-либо вида уравнения отсутствует совсем, но значение всё ещё легко подобрать в каком-то конкретном случае, например, уравнение 2^x-x^2-1=0 пока что невозможно решить аналитическим путём , но, тем не менее, получить хотя бы один корень методом подбора довольно-таки просто: x=1\longrightarrow 2^1-1^2-1=0\Longleftrightarrow 0=0).

Полный перебор


Частным случаем метода подбора является метод полного перебора — то есть поиска решения исчерпыванием всевозможных вариантов. Используется в случае, если множество всех решений (либо всех решений, удовлетворяющих определённым условиям) конечно.

Метод обратной операции

Данный метод решения уравнений, называемый иначе методом построения обратной функции, основывается на свойстве обратной функции нивелировать влияние функции на значение переменной :
f^{-1(f(x))=x или, что по сути то же самое, f(f^{-1(x))=x.
Метод обычно используется в составе других методов решений и самостоятельно применяется лишь тогда, когда переменные и константы находятся по разные стороны от знака равенства: f(x)=g(a_0,a_1,...a_i), a_i=const.
Самый простой пример — линейное уравнение: 5x=10. Здесь f(x)=5x,\text{ g(a_i)=10,значит f^{-1(x)=\frac{x{5, и получаем: f^{-1(f(x))=\frac{5x{5=x, теперь то же самое нужно проделать с другой частью уравнения: f^{-1(g(a_i))=\frac{10{5=2, отсюда x=2. Проверка: 5\cdot2=10\Longleftrightarrow 10=10.
Ещё пример: x^2=4\Longleftrightarrow x=\pm\sqrt{4\Longleftrightarrow x_{1,2=2;-2.
Недостатки метода обратной операции:
  • Иногда обратная функция от переменной в составе других методов решений приводит к нескольким результатам, из-за чего в решении появляются посторонние корни, которые были получены логическим путём, но не подходят в уравнение (нарушают тождественное равенство) , что выясняется только при проверке;
  • Обратные операции, чаще всего, кажутся гораздо более сложными, чем обычные (например, дети начальных классов воспринимают деление как более сложное действие, чем "привычное" им умножение; старшеклассники часто долго приспосабливаются к интегрированию, потому что дифференцирование для них, также весьма привычное, воспринимается более лёгким);
  • Редки случаи, но так же имеют место быть, когда та или иная операция обратна сама себе (допустим, как линейная функция f(x)=x, или интеграл и производная от показательной функции f(x)=e^x );
  • Не все обратные функции представимы в виде композиций других известных функций (чаще всего, это интегралы — интегралы Френеля, функция Лапласа, интегральные синус и косинус, интегральная экспонента, или, например, неэлементарные, такие, как W-функция Ламберта, тетрация и суперкорень);
  • Не всякая обратная операция даёт допустимое или вообще хоть какое-нибудь решение (например, функция f(x)=x^2 даёт действительное число при любом значении переменной, однако, это значение всегда неотрицательно , из-за чего нахождение обратной функции ограничивается неотрицательностью аргумента; также, например, существуют неинтегрируемые или недифференцируемые функции, наподобие функции Дирихле, функции Вейерштрасса и др.);
  • Для некоторых обратных операций до сих пор не существует алгоритма вычисления, так что значения этих функций, как решения каких-либо уравнений, так и остаются в виде формул (например, суперлогарифм, ζ-функция Римана и т. д.).
Преимущества метода обратных операций:
  • В отличие от метода подбора, применение обратных функций, чаще всего, позволяет не упустить дополнительные существующие допустимые решения, даже если их множество бесконечно;
  • Обратные операции являются одной из основных составляющих почти любых логичных методов решения уравнений, используются гораздо чаще и на своём примере помогают лучше разобраться в понятиях области допустимых значений, области определения и области изменения значения аргумента(ов);
  • В большинстве случаев значения обратных функций можно вычислить с помощью различного рода калькуляторов или же, наоборот, оставить их в формульном выражении для удобства в дальнейшем применении.

Графический метод

Данный метод решения задач (в том числе, уравнений) основывается на базовом свойстве графиков функций — определённым и (в идеале) точным отображением значений аргументов и значений функций от этих аргументов в пространстве координат, вследствие чего каждая точка графика имеет не более одного набора этих значений для каждой конкретной функции (то есть два значения от одного и того же аргумента не могут быть присвоены одной и той же точке координат).
По определению, две функции имеют одну общую точку (точку пересечения графиков) тогда, когда их значения от одного(их) и того(тех) же значения(й) аргумента(ов) равны: f(x_1,x_2,...,x_i)=g(x_1,x_2,...,x_i).
Например, решим графически уравнение \frac{1{2x^2-4x+10=x-2 (см. рисунок ниже):
безмини232x232пксПример точек пересечения (A и B).
Здесь чёрным цветом показан график функции f(x)=\frac{1{2x^2-4x+10, синим цветом — график функции g(x)=x-2. Абсциссы точек A и B образуют множество решений исходного уравнения: x_1=4, x_2=6, что легко находится проекцией точек на ось абсцисс (ось x). Проверка: \frac{1{2\cdot 4^2-4\cdot4+10=4-2\Longleftrightarrow 2=2 и \frac{1{2\cdot6^2-4\cdot6+10=6-2\Longleftrightarrow4=4. Решение является исчерпывающим, поскольку прямая не может пересечь параболу более двух раз (согласно основной теореме алгебры).
Недостатки графического метода:
  • Графически, за исключением простых случаев, можно получить только приблизительное решение;
  • Не всякие значения и не всяких функций вычислимы, поэтому их графики самостоятельно построить нельзя;
  • Не зная свойств входящих в уравнение функций, невозможно точно утверждать, является ли полученное множество решений исчерпывающим;
  • Чаще всего, применимость данного метода ограничивается построением графиков функций в окрестностях центра координат;
  • Воспроизведение графиков функций, что называется, "в уме" бывает достаточно затруднительным, в таких случаях без каких-либо дополнительных приспособлений никак не обойтись.
Преимущества графического метода:
  • Простота использования (уровня знаний средней школы вполне достаточно);
  • Доступность в применении (например, когда решение уравнения ещё не изучалось или отсутствует вовсе);
  • Наглядность представления (помогает лучше понять, что представляет из себя какое-либо решение и как его можно изобразить) .
Кроме описанного метода существуют специальные модифицированные графические методы, такие, например, как метод Лиля.

Метод оценки ОДЗ

Метод оценки ОДЗ (области допустимых значений) заключается в отсечении некоторой части значений из области значений функции, в которых данная функция не существует (иначе, отсечение значений, которые она не может принимать).
Например, решим методом оценки ОДЗ следующую систему уравнений:
\begin{cases \frac{1{x+1+x+1=2\\\sin^2(x)=x \end{cases
Начнём с верхнего уравнения, основываясь на следующем свойстве суммы взаимно-обратных чисел: \frac{1{n+n\geqslant2, n>0. Оно непосредственно выводится из частного случая нестрогого неравенства о степенных средних . Причём равенство двум достигается только в том случае, если эти числа равны: \frac{1{x+1=x+1\Longleftrightarrow(x+1)^2=1\Longleftrightarrow x+1=\pm1. В результате получаем множество решений: x_1=0,\text{ x_2=-2.
В нижнем уравнении присутствует неотрицательная функция возведения в квадрат и функция f(x)=\sin(x), значения которой лежат в диапазоне \{-1;\text{ 1\.
Как видно, второе решение не подходит по обоим критериям, что избавляет нас от необходимости второй проверки. Осталось проверить первый корень: \sin(0)=0\Longleftrightarrow \sin^2(0)=0\Longleftrightarrow0=0. Значит, единственное решение исходной системы уравнений — это x_1=0.
Недостатки метода оценки ОДЗ:
  • Существуют функции, исследование которых крайне затруднительно, отчего их свойства долго остаются неизвестными \biggl(например, предложенная Риманом функция f(x)=\sum_{n=1^{\infty\frac{\sin(n^2x){n^2 \biggr);
  • Часто метод оценки приводит к интервалу, в котором лежат возможные решения, и тогда их приходится находить методом подбора с учётом полученного ограничения;
  • Оценка значений функций базируется на знании их свойств, которые, как часто бывает, ввиду разнообразия самих функций, не собраны воедино в одном источнике.
Преимущества метода оценки ОДЗ:
  • Данный метод бывает полезен, когда необходимо доказать отсутствие допустимого решения, но сделать это другими методами не представляется возможным;
  • Методом оценки ОДЗ, в отличие от графического метода и метода подбора, возможно получить и бесконечное множество допустимых решений;
  • Как было показано в примере, грамотное применение метода оценки позволяет избежать дополнительных проверок;
  • Некоторые уравнения гораздо проще решить именно таким методом (например, частные случаи иррациональных уравнений).

Метод разложения на множители


Метод разложения на множители уравнений (то есть их факторизация) применяется для представления их в виде произведения нескольких менее сложных, чаще, однотипных уравнений . Разложение основывается на свойстве произведения нескольких множителей равняться нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из этих множителей также равен нулю .
Этот метод решения именно полиномиальных уравнений являлся отдельным направлением алгебры на протяжении многих столетий и представляет из себя совокупность сразу нескольких алгоритмов получения решения. Его актуальность и значимость есть следствие основной теоремы алгебры, согласно которой любой многочлен любой ненулевой конечной степени имеет хотя бы один комплексный корень.
Самым простым из всех способов разложения является, пожалуй, деление многочлена на многочлен.
Недостатки метода факторизации многочленов:
  • Относительно узкая специализация метода (например, уравнение 2^x-3x+2=0 нельзя факторизовать, так как произведением формул корней прийти к исходному уравнению не получится );
  • Метод разложения содержит в себе сразу несколько способов факторизации и применим не ко всем полиномам, другими словами, он не универсален (некоторые иррациональные уравнения до сих пор не удаётся ни решить аналитически, ни разложить тоже, — простой пример: x^{\pi-x+1=0).
Преимущества метода факторизации многочленов:
  • Некоторые частные случаи уравнений, для которых общий алгоритм решения не найден или слишком сложен, возможно решить только разложением (например, уравнения шестой и выше степеней, алгоритмы будущего решения которых слишком громоздки, сложно и долго вычисляемы, вследствие чего их разработка становится нецелесообразной
    R. Bruce King.
    0;
  • Приведение квазиоднородных уравнений к однородным заменой y(x)=z^{\frac{\beta{\alpha, а затем — к уравнениям с разделяющимися переменными.

Линейные дифференциальные уравнения, как правило, решаются тремя методами:
  • Метод интегрирующего множителя;
  • Метод Лагранжа (вариационной постоянной);
  • Метод Бернулли.
Дифференциальные уравнения Бернулли также сводятся либо к линейным, либо к уравнениям с разделяющимися переменными с помощью замен .
Однородные дифференциальные уравнения второго и выше порядков решаются путём замены функции y(x)=e^{kx и переходу таким способом к решению характеристического алгебраического уравнения от переменной k степени, равной порядку исходного дифференциального уравнения.
Существуют типы дифференциальных уравнений высших порядков, порядок которых можно понизить заменой производной какого-либо порядка на другую функцию. Таким же образом они могут быть сведены к уравнениям с разделяющимися переменными.
Интегральные уравнения являются более сложными, чем дифференциальные, но в своих решениях, как и они, часто содержат интегральные преобразования:
  • Преобразование Фурье;
  • Преобразование Лапласа;
  • Преобразование Хартли;
  • Интегральное преобразование Абеля;
  • Идентичное преобразование;
  • и другие (см. Интегральные преобразования#Таблица преобразований).

Помимо дифференциальных и интегральных существует также смешанный тип — интегро-дифференциальные уравнения, основным направлением решения которых является их сведение к двум предыдущим типам уравнений различными методами.

Преобразования функциональных уравнений


Общего решения функциональных уравнений не существует, как и общих методов. Сами по себе функциональные уравнения являются свойствами своего решения — функции или типа функций. Например, решением функционального уравнения Абеля \alpha (f(x))=\alpha (x)+1,{\text{ f(x)=a^{x является функция \alpha (x)={\text{slog_{ax.

Численные методы решения уравнений


Данные методы представляют собой отдельную совокупность алгоритмов получения решения конкретного уравнения с заданной точностью. Основные отличия от аналитического решения:
  • Погрешность вычисления (при аналитическом способе иррациональные числа доступны в виде формул от рациональных, в связи с чем при желании могут быть вычислены с любой точностью для любых частных случаев);
  • Универсальность применения (одни и те же числовые методы могут быть применены к совсем разного типа уравнениям);
  • Возобновляемость процесса решения (для каждого конкретного случая одного вида уравнения метод необходимо применять заново и с самого начала, в отличие от аналитического решения, зная которое, для вычисления корней достаточно подставить нужные коэффициенты в уже известную, т.е. полученную раннее, формулу);
  • Необходимость использования дополнительного оборудования (таких, как калькуляторы и программные продукты; аналитические решения придумываются "из головы", хотя существуют специальные сайты или устанавливаемое ПО, способные вывести формулы уже известных аналитических решений).

Метод бисекции (дихотомии)


Этот численный метод решения уравнения основан на противоположности знаков непрерывной функции около её нуля. Сам алгоритм довольно прост:
  1. Берётся отрезок, на концах которого функция даёт противоположные по знаку значения;
  2. Отрезок разбивается пополам, после чего значение функции в середине отрезка умножается на значения его концов: отрицательный результат приводит к сужению изначального отрезка от бывшей середины до того конца, в котором произведение было отрицательным;
  3. Новый отрезок снова делим пополам и повторяем процедуру до тех пор, пока отрезок не достигнет заданной точности.
Пример: найдём положительный корень уравнения 2^x=x^2+2. Для этого перепишем уравнение в функцию: f(x)=2^x-x^2-2. Построив график этой функции легко убедиться, что искомое значение лежит в отрезке 4;\text{ 5. Найдём значения функции от концов этого отрезка и его середины: f(4)=-2; f(5)=5; f(4,5)\approx 0,377416997969519, — как видно, произведение значений f(4) и f(4,5) даёт отрицательный результат, в отличие от f(4,5)\cdot f(5). Теперь отрезок, в котором лежит корень, сокращается: 4;\text{ 4,5. Повторим процедуру снова (при этом значения функции на концах уже известны из предыдущих расчётов): f(4,25)\approx -1,035186159956460, — теперь отрезок сокращается "в другую сторону": 4,25;\text{ 4,5. Следующий цикл: f(4,375)\approx -0,391192125583853,— получаем новый отрезок: 4,375;\text{ 4,5. Цикл продолжается до требуемой точности, а затем, в качестве приближённого значения корня, выбирается тот конец отрезка, значения функции от которого наиболее близко к нулю. В нашем примере значение 4,44129 будет являться корнем исходного уравнения до пятого знака после запятой.

Метод хорд (секущих)


Итерационный численный метод нахождения корня уравнения с заданной точностью, в основе которого лежит постоянное приближение к корню через пересечения хорд с осью абсцисс. Здесь используется следующая формула:
x_{i+1=x_{i-{\dfrac {f(x_{i)\cdot (x_{i-x_{0){f(x_{i)-f(x_{0), однако она имеет низкую скорость сходимости, поэтому вместо неё чаще используют алгоритм:
x_{i+1=x_{i-1-{\dfrac {f(x_{i-1)\cdot (x_{i-x_{i-1){f(x_{i)-f(x_{i-1); в различных источниках обе эти формулы называют по-разному — методом хорд и/или методом секущих.
Общий алгоритм использования метода в геометрическом смысле имеет вид:
  1. Сперва необходимо удостовериться, что функция уравнения непрерывна, а на рассматриваемом интервале имеется лишь один корень и отсутствуют нули производной (иначе, вычисление может не сойтись совсем);
  2. Затем выбрать две точки, принадлежащие графику функции (лежащие на нём), абсциссы которых входят в заданный интервал и значения функции в которых противоположны по знаку;
  3. Обе эти точки соединяются, образуя хорду (секущую), вычисляется точка пересечения хорды с осью абсцисс;
  4. Проводится перпендикуляр к оси абсцисс из точки пересечения к графику функции (проекция точки пересечения на график функции);
  5. Полученная точка на графике функции с противоположным концом уже имеющейся хорды соединяются, образуя новую хорду, для которой также надо будет вычислить точку пересечения с осью абсцисс...и т.д.

Метод Ньютона


Основная идея метода Ньютона заключается в использовании итеративного приближения дифференцируемой функции по следующему алгоритму :
f'(x_n)=\text{tg\alpha_n=\frac{\Delta y{\Delta x=\frac{0-f(x_n){x_{n+1-x_n\longrightarrow x_{n+1=x_n-\frac{f(x_n){f'(x_n)
Для начала нужно убедиться, что функция, приравненная к нулю в данном уравнении, удовлетворяет некоторым критериям, ограничениям и условиям применимости данного метода, затем — удостовериться, что рядом с обнаруженным неизвестным корнем нет других неизвестных корней (иначе, можно попросту "сбиться с толку"). Теперь следует выбрать значение переменной x_n, близкое к корню (чем ближе, тем лучше), и подставить его в вышеописанную формулу. Дальше возможно два исхода:
  1. Если полученное значение x_{n+1 лежит в том же интервале, что и искомый корень, то его заново можно подставить в формулу: каждое следующее значение точнее предыдущего;
  2. Если полученное значение x_{n+1 не лежит в том же интервале, что и искомый корень, то необходимо заменять x_{n+1 на \frac{x_n+x_{n+1{2 до тех пор, пока новое значение не вернётся в интервал.
Итерационный процесс продолжается, пока полученное приближение искомого корня уравнения не достигнет требуемой точности.

Метод простой итерации


Обобщив метод хорд (секущих) и метод Ньютона можно прийти к выводу, что они оба являются разновидностью одного и того же алгоритма. Его можно описать следующим образом:
  1. Уравнение f(x)=0 приводится к виду: x=\varphi(x), — теперь можно записать итерационную формулу как x_{i+1=\varphi (x_{i);
  2. Функцию \varphi(x_i) необходимо выбирать в соответствии с условиями сходимости метода, обычно \varphi(x_i)=x_i-\lambda(x)f(x_i), в качестве независимой \lambda(x) можно выбрать константу \lambda_0, знак которой совпадает со знаком производной f'(x) на отрезке, соединяющем истинный корень и первое значение x_0.
В частности, положив \lambda_0=\frac{1{f'(x_0), придём к алгоритму, называемому методом одной касательной; а при \lambda(x)=\frac{1{f'(x) получится тот самый метод Ньютона.
Пример: найти приближение корня уравнения 0,25\sin(x)-x-\pi=0. Для начала определим функцию \varphi(x) и выразим x через неё:
x=0,25\sin(x)-\pi\longrightarrow \varphi(x)=0,25\sin(x)-\pi, — теперь необходимо убедиться, соответствует ли полученная функция условию сходимости, — \varphi'(x)
 
Комментарии

Пока нет комментариев




последний раз видели
большинство посещений