Today: Tuesday 27 July 2021 , 12:06 pm


advertisment
search




Теоремы Паппа — Гульдина

Последнее обновление 23 час , 32 минута 9 Взгляды

Advertisement
In this page talks about ( Теоремы Паппа — Гульдина ) It was sent to us on 26/07/2021 and was presented on 26/07/2021 and the last update on this page on 26/07/2021

Твой комментарий


Введите код
  Теоре́мы Па́ппа — Гу́льдина — две теоремы о телах вращения, которые связывают их площадь и объём с длиной окружности, описываемой барицентром. Сформулированы Паппом Александрийским (доказательства он не привел). Первое известное доказательство принадлежит Паулю Гульдину (1640) .

Первая теорема Паппа — Гульдина (о площади поверхности вращения)

Площадь поверхности тела, образованного вращением плоской линии (замкнутой или незамкнутой) вокруг оси, лежащей в плоскости этой линии и не пересекающей её, равна произведению длины вращающейся линии на длину окружности, радиусом которой служит расстояние от оси до барицентра линии .

Вторая теорема Паппа — Гульдина (об объёме тела вращения)

Объём тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси, расположенной в той же плоскости и не пересекающей фигуру, равен площади фигуры, умноженной на длину окружности, радиусом которой служит расстояние от оси вращения до барицентра фигуры .

Доказательство

Лемма

Пусть в плоскости по одну сторону от прямой расположено несколько материальных точек одинаковой массы. Тогда центр тяжести этой системы точек удалён от прямой l на расстояние, равное среднему арифметическому расстояний этих точек от прямой l.
Доказательство: Докажем лемму методом математической индукции. Обозначим число точек через n, сами точки через M_1, M_2, …, M_n, массу каждой точки через m, а расстояния точек от прямой l через r_1, r_2, …, r_n.
Для n=1, утверждение леммы очевидно.
Пусть лемма верна для n-1 точки. Тогда их центр тяжести P находится на расстоянии
r=\frac{r_1+r_2+...+r_{n-1{n-1.
Заменим систему материальных точек M_1, M_2, …, M_{n-1 точкой P, сосредоточив в ней массу, равную (n-1)m. Остаётся найти центр тяжести O двух материальных точек P и M_n. Так как точка P имеет массу (n-1)m, а точка M_n — массу m, то
PO:OM_n=1:(n-1).
Следовательно, если r^* — расстояние от точки O до прямой (рис. 1), то
(r-r^*):(r^*-r_n)=1:(n-1),
откуда
r^*=\frac{(n-1)r+r_nn=\frac{r_1+r_2+...+r_{n-1+r_nn
Таким образом, утверждение леммы справедливо для n материальных точек.

Доказательство первой теоремы Паппа — Гульдина

Прежде всего докажем, что эта теорема справедлива, если кривая, о которой идет речь в теореме, является n-звенной ломаной, у которой все звенья имеют одну и ту же длину m. Середины звеньев ломаной обозначим через M_1, M_2, …, M_n, а расстояния от этих точек до прямой l — через r_1, r_2, …, r_n. При вращении рассматриваемой ломаной вокруг прямой l получается поверхность , состоящая из n частей, каждая из которых представляет собой боковую поверхность усеченного конуса. Так как боковая поверхность усечённого конуса равна произведению длины образующей на длину окружности среднего сечения, то площадь получившейся фигуры вращения равна
S=m\cdot2\pi r_1+m\cdot2\pi r_2+\ldots+m\cdot2\pi r_n.
Замечая, что длина рассматриваемой ломаной равна P=mn, можно переписать выражение для площади
S=P\cdot2\pi R,
где
R=\frac{r_1+r_2+...+r_nn,
но центр тяжести ломаной, то есть центр тяжести точек M_1, M_2, …, M_n, в каждой из которых сосредоточена масса m, согласно лемме, отстоит от прямой l на расстоянии R. Это означает, что в рассматриваемом частном случае первая теорема Паппа — Гульдина справедлива.
Теперь рассмотрим произвольную линию K, при вращении которой при вращении вокруг оси l получается поверхность Q. Впишем в неё ломаную L, содержащую m звеньев. При вращении L вокруг оси l получим поверхность T, площадь которой равна S=P\cdot2\pi R, где P — длина ломаной L, а R — расстояние от центра тяжести ломаной L до оси вращения l.
Если считать m\to0, то длина ломаной L будет стремиться к длине линии K, площадь поверхности T будет стремиться к площади поверхности Q, центр тяжести ломаной L будет стремиться к центру тяжести кривой K. Так как для любого m соотношение S=P\cdot2\pi R справедливо для L, то переходя к пределу m\to0, найдем, что оно справедливо и для кривой K.

Примечания


Литература

Паппа — Гульдина
Категория:Стереометрия
 
Комментарии

Пока нет комментариев

последний раз видели
большинство посещений